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二元一次方程组

初中

本节的所有数学符号，作用域仅为 初中 和 高中。

初中所学。先从初中角度理解。

二元一次方程的一般形式，记为 一般形式的二元一次方程：

\[ a \cdot x + b \cdot y + c = 0 \\ \]

其中，\(x\)、\(y\) 为未知数，待求。\(a\)、\(b\)、\(c\) 为系数，已知。显然一个方程是不能求解的，有无数个解。如果有两个 不同方程 的话就能求解，记为 标准二元一次方程组：

\[ \left\{ \begin{aligned} & a_1 \cdot x + b_1 \cdot y + c_1 = 0 \\ & a_2 \cdot x + b_2 \cdot y + c_2 = 0 \end{aligned} \right. \]

如果系数化简后，相互冲突，则没有解；如果两个方程的系数成比例关系，则两个方程其实是一个方程，有无数个解；否则有一个特定的解。初中学过的手动解法有：消元法、带入法、加减法、换元法等。

高中

从平面几何去理解。每个方程代表一条直线。如果平行，则无解。如果相交，则有唯一解；如果重合，则有无数个解。

大学

线性代数

本节的所有数学符号，作用域仅为 线性代数。

二元一次方程组，记为 一般二元一次方程组：

\[ \left\{ \begin{aligned} & a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 = y_1 \\ & a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 = y_2 \end{aligned} \right. \]

行列式记为 二元一次方程组行列式：

\[ D = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right | \]

（行列式是一个数，标量）二维行列式计算公式 为：

\[ D = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \]

从直线理解可知，若 \(D \neq 0\)，则有唯一的解。

利用消元法，记为 二元一次方程组消元法：

\[ \begin{aligned} a_{11} \cdot \left( - a_{22} \cdot x_2 + y_2 \right) & = a_{21} \cdot \left( - a_{12} \cdot x_2 + y_1 \right) \\ \left( a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \right) \cdot x_2 & = a_{11} \cdot y_2 - a_{21} \cdot y_1 \end{aligned} \]

仔细观察 “对称结构”，所以它的解可得，即 克拉默（Cramer）法则：

\[ x_i = D_i/D \]

其中 \(D_i\) 为 \(D\) 的第 \(i\) 列变为 \(y_1···y_i\)。